מתמטריק
מקום גאומטרי שהוא היפרבולההנדסה אנליטית 572 · שיעור 95
הנדסה אנליטית · שאלון 572

שיעור 95 – מקום גאומטרי שהוא היפרבולה

פרק 9 – היפרבולה
1נוסח השאלה
2הסבר – מקום גאומטרי שיוצא היפרבולה
3סעיף א – הפרש מרחקים קבוע
4סעיף ב – מכפלת שיפועים
5סעיף ג – מרכזי מעגלים משיקים
📄 נוסח השאלה
א. נתונות הנקודות A(−13 , 0) ו־B(13 , 0) . מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות P שעבורן |PA − PB| = 24 .
ב. נתונות הנקודות A(−3 , 0) ו־B(3 , 0) . מצאו את המקום הגאומטרי של כל הנקודות P שעבורן מכפלת השיפועים של PA ושל PB היא 49 . איזו צורה זו?
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. נתונים שני מעגלים: מעגל O1 שמרכזו (−5 , 0) ורדיוסו 1, ומעגל O2 שמרכזו (5 , 0) ורדיוסו 7. מצאו את המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שמשיקים לשני המעגלים מבחוץ.
הסבר – מקום גאומטרי שיוצא היפרבולה
דרך העבודה במקום גאומטרי: מסמנים נקודה כללית P(x , y) , כותבים את התנאי בעזרת x ו־y , ומפשטים.
קיצור דרך: אם התנאי הוא "ההפרש בין המרחקים משתי נקודות קבועות קבוע", זו היפרבולה לפי ההגדרה. שתי הנקודות הן המוקדים, וההפרש הוא 2a :
|PF1 − PF2| = 2a
📐 הגדרת ההיפרבולה
אם ההפרש חייב להיות בכיוון אחד בלבד (למשל PF2 − PF1 = 2a , בלי ערך מוחלט), המקום הוא ענף אחד בלבד – הענף הקרוב יותר ל־F1 .
📐 הגדרת ההיפרבולה
|PF1 − PF2| = 2a
הסבר – מקום גאומטרי שיוצא היפרבולה · המשך
אם ההפרש חייב להיות בכיוון אחד בלבד (למשל PF2 − PF1 = 2a , בלי ערך מוחלט), המקום הוא ענף אחד בלבד – הענף הקרוב יותר ל־F1 .
בסוף תמיד בודקים אם יש נקודות שצריך להוציא מהמקום (למשל נקודות שבהן שיפוע לא מוגדר).
סעיף א – הפרש מרחקים קבוע
לפי ההגדרה, המקום הוא היפרבולה שמוקדיה A ו־B :
|PA − PB| = 2a = 24
📐 הגדרת ההיפרבולה
a = 12 , c = 13
c2 = a2 + b2
📐 מוקדי ההיפרבולה
נציב c = 13 , a = 12 :
132 = 122 + b2
📐 הגדרת ההיפרבולה
|PF1 − PF2| = 2a
📐 מוקדי ההיפרבולה
c2 = a2 + b2
מוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0)
סעיף א – הפרש מרחקים קבוע · המשך
132 = 122 + b2
b2 = 169 − 144 = 25
x2144 − y225 = 1
📐 היפרבולה קנונית
✅ פתרון סופי: x2144 − y225 = 1
📐 היפרבולה קנונית
x2a2 − y2b2 = 1
c2 = a2 + b2
מוקדים (±c , 0)
סעיף ב – מכפלת שיפועים
נסמן P(x , y) ונכתוב את השיפועים:
mPA = y − 0x − (−3) = yx + 3
📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודות
mPB = y − 0x − 3 = yx − 3
התנאי:
yx + 3 · yx − 3 = 49
(x + 3)(x − 3) = x2 − 9
📐 הפרש ריבועים
📐 שיפוע ישר לפי שתי נקודות
m = y2 − y1x2 − x1
📐 הפרש ריבועים
(u + v)(u − v) = u2 − v2
סעיף ב – מכפלת שיפועים · המשך
(x + 3)(x − 3) = x2 − 9
📐 הפרש ריבועים
y2x2 − 9 = 49
כפל בהצלבה:
9y2 = 4(x2 − 9)
9y2 = 4x2 − 36
4x2 − 9y2 = 36
📐 הפרש ריבועים
(u + v)(u − v) = u2 − v2
סעיף ב – מכפלת שיפועים · המשך
4x2 − 9y2 = 36
מחלקים ב־36:
x29 − y24 = 1
📐 היפרבולה קנונית
זו היפרבולה. צריך להוציא את הנקודות A(−3 , 0) ו־B(3 , 0) – אלה הקודקודים של ההיפרבולה, ובהן אחד השיפועים לא מוגדר (מכנה 0).
✅ פתרון סופי: x29 − y24 = 1 (היפרבולה), בלי (±3 , 0)
📐 היפרבולה קנונית
x2a2 − y2b2 = 1
c2 = a2 + b2
מוקדים (±c , 0)
סעיף ג – מרכזי מעגלים משיקים
נסמן ב־M את מרכז המעגל המשיק וב־R את הרדיוס שלו. מעגלים שמשיקים מבחוץ – המרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסים:
MO1 = R + 1
MO2 = R + 7
מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה – R מצטמצם:
MO2 − MO1 = 6
ההפרש בין המרחקים מ־O1 ומ־O2 קבוע – זו היפרבולה שמוקדיה (±5 , 0) :
סעיף ג – מרכזי מעגלים משיקים · המשך
ההפרש בין המרחקים מ־O1 ומ־O2 קבוע – זו היפרבולה שמוקדיה (±5 , 0) :
2a = 6 ⇒ a = 3 , c = 5
📐 הגדרת ההיפרבולה
b2 = 25 − 9 = 16
📐 מוקדי ההיפרבולה
x29 − y216 = 1
📐 היפרבולה קנונית
אבל M תמיד רחוקה יותר מ־O2 מאשר מ־O1 , ולכן היא קרובה יותר ל־O1 – רק הענף השמאלי, שבו x ≤ −3 .
בדיקה עם הקודקוד (−3 , 0) : המרחק ממנו ל־O1 הוא 2, ולכן R = 1 . המרחק ל־O2 הוא 8, ואכן 8 = 1 + 7 ✓
📐 הגדרת ההיפרבולה
|PF1 − PF2| = 2a
📐 מוקדי ההיפרבולה
c2 = a2 + b2
מוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0)
📐 היפרבולה קנונית
x2a2 − y2b2 = 1
c2 = a2 + b2
מוקדים (±c , 0)
סעיף ג – מרכזי מעגלים משיקים · המשך
בדיקה עם הקודקוד (−3 , 0) : המרחק ממנו ל־O1 הוא 2, ולכן R = 1 . המרחק ל־O2 הוא 8, ואכן 8 = 1 + 7 ✓
בסקיצה: שני המעגלים הנתונים בירוק, והמקום הגאומטרי (הענף השמאלי) בכחול.
✅ פתרון סופי: x29 − y216 = 1 , רק הענף השמאלי x ≤ −3

📌 סיכום התשובות

סעיף א
x2144 − y225 = 1
סעיף ב
x29 − y24 = 1 בלי (±3 , 0)
סעיף ג
x29 − y216 = 1 , x ≤ −3
מתמטריק
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא